Точки:
, 
.Разложение Тейлора:
.Методы прямой, обратной и центральной разностей используются для численного приближения производных в дифференциальных уравнениях, заменяя их разностными аналогами на сетке, чтобы упростить решение.
Метод прямой разности:
Точки: , .
Разложение Тейлора:.
Приближение:
.
Остаточный член:
остаток = 
Ошибка:
, где 
Точность: O(h).
Метод обратной разности:
Точки: , 
.
Приближение:
.
Остаточный член:
остаток = 
Ошибка аналогична прямой разности с подстановкой нового приближения и остатка.
Точность: O(h).
Прямая разность – как будто вы смотрите, насколько функция выросла вперёд от точки, и делите на расстояние. Обратная — то же самое, но назад. Ошибка зависит от того, насколько функция “кривая” (вторая производная), и уменьшается, если шаг маленький. Остаточный член −
показывает, что мы отбросили часть информации о кривизне функции. Чем больше вторая производная и шаг h, тем больше ошибка.
Метод центральной разности:
Точки: 
, .
Для равномерной сетки (
=h):
.
Вывод:
Разложения Тейлора:
.
.
Вычитание:
.
Приближение:
.
Остаточный член:
остаток = 
Ошибка:
, где 
.
Точность: O(
).
Центральная разность смотрит на изменение функции сразу с двух сторон точки, что делает её точнее. Ошибка меньше, потому что она зависит от , а не просто ℎ. Остаток 
возникает из-за третьей производной, которую мы игнорируем. Если функция почти прямая (маленькая 𝑓‴), ошибка будет очень маленькой.
Требования:
Прямая разность: Вторая производная должна быть непрерывной.
Центральная разность: Третья производная должна быть непрерывной.
Замечание: Гладкость функции критически влияет на точность. Для функций с разрывами или резкими изменениями точность может снижаться. Чем более гладкая функция (меньше резких скачков), тем лучше работают эти методы. Остаточные члены показывают, от чего зависит ошибка: от шага и производных.
Остаточные слагаемые возникают из разложения Тейлора, когда мы отбрасываем высшие члены. Для прямой разности ошибка линейна (ℎ), для центральной — квадратична ().